LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2000/2001
ZADANIA KONKURSOWE ETAPU IV
DLA KLAS II GIMNAZJUM
Zadanie 14
W pojemniku znajdują się bakterie i wirusy. Łączna ich liczba jest równa 2000 sztuk.
prowadzą one swoistą "wojnę". Na początku każda bakteria niszczy po trzy wirusy.
W drugim etapie każdy pozostały przy życiu wirus niszczy po dwie bakterie. Potem ponownie
każda niezniczczona bakteria niszczy po trzy wirusy itd. Wymiana ciosów trwa tak długo aż
liczba wirusów i bakteri w pojemniku są równe. Wtedy zawierają one "pokój".
Ile wirusów i bakterii zostanie na końcu?
Rozwiązanie
Zaczynam zadanie od momentu, kiedy bakterie zawarły pokój z wirusami.
Rysuję tabele na których pokażę jak ginęły po kolei bakterie i wirusy.
Przypadek 1, w którym ostatnie atakują bakterie.
| Tury |
Bakterie |
Wirusy |
Suma |
| 0 |
x |
x |
|
| 1 |
x |
4x |
5x |
| 2 |
9x |
4x |
|
| 3 |
9x |
31x |
40x |
| 4 |
102x |
31x |
|
| 5 |
102x |
235x |
337x |
| 6 |
807x |
235x |
|
| 7 |
807x |
1849x |
2656x |
Interesują mnie tylko sumy tur nieparzystych, bo pierwsze musiały atakować bakterie.I sprawdzam w których z nich suma mogła wynosić dwa tysiące.
5x = 2000 / :5
x = 400
40x = 2000 / : 40
x = 50
337x = 2000 (x nie należy do N)
2656x = 2000 (x nie należy do N)
Przypadek 2, w którym ostatnie atakują wirusy.
| Tury |
Bakterie |
Wirusy |
Suma |
| 0 |
x |
x |
2x |
| 1 |
3x |
x |
|
| 2 |
3x |
10x |
13x |
| 3 |
23x |
10x |
|
| 4 |
23x |
79x |
101x |
| 5 |
181x |
79x |
|
| 6 |
181x |
621x |
802x |
| 7 |
1423x |
621x |
powyżej 2000 |
Tym razem interesują mnie tylko sumy tur parzystych, bo pierwsze musiały atakować wirusy.I sprawdzam w których z nich suma mogła wynosić dwa tysiące.
2x = 2000 / :2
x = 1000 (zawarły pokuj przed rozpoczęciem wojny)
13x = 2000 (x nie należy do N)
101x = 2000 (x nie należy do N)
802x = 2000 (x nie należy do N)
Odpowiedź:
Na końcumoże zostać 1000 bakterii i 1000 wirusów, 400 bakterii i 400 wirusów, lub 50 bakterii i 50wirusów
Rafał Mikulski